问题提出

研究最佳平方逼近多项式的收敛性质

实验内容及要求

取函数f(x)=ex，在[-1，1]上以勒让德多项式为基函数，对于n=0,1,…，10构造最佳平方逼近多项式Pn(x)，令blob.png，将blob.png的曲线画在一个图上。

令blob.png，画出blob.png的曲线。做出blob.png之间的最小二乘曲线，能否提出关于收敛性的猜测。

实验步骤

1.编制程序，计算出n=0，1，2，…，10阶的勒让德多项式基函数。然后构造不同次数的最佳平方多项式Pn(x)，并计算blob.png，然后将各阶误差blob.png的曲线画在不同的子图上。

2.计算各阶的最大误差blob.png，然后画出最大误差blob.png曲线。并预测收敛性。

实验结果及讨论

1.计算各阶勒让德多项式：

①各阶勒让德多项式如下：

P0(x)=1；

P1(x)=x；

P2(x)=(3*x^2)/2 - 1/2；

P3(x) =(x*(5*x^2 - 3))/2；

P4(x) =(35*x^4)/8 - (15*x^2)/4 + 3/8；

P5(x) =(x*(63*x^4 - 70*x^2 + 15))/8；

P6(x) =(231*x^6)/16 - (315*x^4)/16 + (105*x^2)/16 - 5/16；

P7(x) =(x*(429*x^6 - 693*x^4 + 315*x^2 - 35))/16；

P8(x) =(6435*x^8)/128 - (3003*x^6)/32 + (3465*x^4)/64 - (315*x^2)/32 + 35/128；

P9(x) =(x*(12155*x^8 - 25740*x^6 + 18018*x^4 - 4620*x^2 + 315))/128；

P10(x) =(46189*x^10)/256 - (109395*x^8)/256 + (45045*x^6)/128 - (15015*x^4)/128 + (3465*x^2)/256 - 63/256

 

② 随着n的增加最佳平方多项式与原函数的误差分布图像：

blob.png

③最大误差blob.png的最小二乘曲线

blob.png

预测：有上图可以看出，随着n的增大，最大误差越来越小，所以最佳平方逼近是收敛的。

 

分析：

有以上的多项式和图形我们可以得出：

1.由勒让德多项式可以看出，随着n的增加，多项式系数也在增加，而且可以看出勒让德多项式的奇偶性为：当阶数n为偶数时，Pn(x)为偶函数；当阶数n为奇数时，Pn(x)为奇函数。

2.由随n的增加最佳平方多项式与原函数的误差分布图像可以得出：随着n的增加，拟合函数与原函数之间的误差越来越小，这说明最佳平方逼近正交多项式随次数n的增大是收敛的。

3.随着次数n的增加，在拟合区间中间部分区域误差在不断减小，而且基本是趋向于平均的，所以中间部分整体上来说，误差随着次数n的增大而减小。在拟合区间的两端，误差还是相对较大，所以其最大误差分布在区间两端。

4.在n较小时（n=1，2）最大误差很大，但随着n的增大最大误差迅速减小并趋于稳定，可以看出最佳平方逼近是收敛的。


程序源码：

test3_3_1.m文件：

syms x;
S=sym(zeros(11));
p=sym(zeros(11));
f=exp(x);               %原函数
p(1)=1;                 %1阶勒让德函数
p(2)=x;                 %2阶勒让德函数
for i=3:11              %3~11阶勒让德函数
    p(i)=((2*i-3)*x*p(i-1)-(i-2)*p(i-2))/(i-1);
end
for j=1:11              %计算正交多项式系数
    a(j)=(2*j-1)/2*(int(f*p(j),-1,1));
end
s(1)=a(1)*p(1);
e(1)=abs(f-S(1));
for j=1:10              %求各项最佳平方逼近多项式
    S(j+1)=S(j)+a(j+1)*p(j+1);
    e(j+1)=abs(f-S(j+1));
end
for i=1:11
    subplot(3,4,i);
    x=-1:0.1:1;
    e1=subs(e(i),x);
    plot(x,e1,'r-');title(['次数为n=',int2str(i-1),'的误差分布图像']);legend('误差分布');grid on;
    E(i)=max(double(e1));
end
n=1:11;
a0=[2 -1 1 1];
for i=1:100
    a=lsqcurvefit('Modelfun',a0,n,E);
    a0=a;
end
y1=a(1)*exp(a(2)*n)+a(3)*n+a(4);
subplot(3,4,12);
plot(n,E,'o',n,y1);title('最大误差随次数的分布');xlabel('n');ylabel('E');legend('最大误差');grid on;
simple(p)
simple(S)

Modelfun.m文件：

function f=Modelfun(a,xdata)
f=a(1)*exp(a(2)*xdata)+a(3)*xdata+a(4);